Tìm GTLN của M= $\frac{6√x}{x+√x +1}$

Đáp án:

\[{M_{\max }} = 2\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
M = \dfrac{{6\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}\,\,\,\,\,\left( {x \ge 0} \right)\\
M - 2 = \dfrac{{6\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - 2\\
 = \dfrac{{6\sqrt x  - 2.\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\
 = \dfrac{{6\sqrt x  - 2x - 2\sqrt x  - 2}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\
 = \dfrac{{ - 2x + 4\sqrt x  - 2}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\
 = \dfrac{{ - 2.\left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\
 = \dfrac{{ - 2.{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\
{\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \ge 0\\
 \Rightarrow  - 2.{\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \le 0,\,\,\,\forall x \ge 0\\
x + \sqrt x  + 1 \ge 1 > 0,\,\,\,\,\forall x \ge 0\\
 \Rightarrow M - 2 = \dfrac{{ - 2{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{x + \sqrt x  + 1}} \le 0,\,\,\,\forall x \ge 0\\
 \Leftrightarrow M \le 2,\,\,\,\forall x \ge 0\\
 \Rightarrow {M_{\max }} = 2 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
 \Rightarrow {M_{\max }} = 2
\end{array}\)