Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =x+2/(x+2) với x>-2

Đáp án:

$\mathop {Min}\limits_{\left( { - 2; + \infty } \right)} f\left( x \right) = 2\sqrt 2  - 2$ khi $x = \sqrt 2  - 2.$

Giải thích các bước giải:

$f\left( x \right) = x + \frac{2}{{x + 2}}$ với $x >  - 2$

$\Rightarrow f\left( x \right) = x + \frac{2}{{x + 2}} = x + 2 + \frac{2}{{x + 2}} - 2$

Với mọi $x >  - 2$ ta có: $x + 2,\,\,\frac{2}{{x + 2}}$ là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $x + 2,\,\,\frac{2}{{x + 2}}$ ta có:

$\begin{array}{l}x + 2 + \frac{2}{{x + 2}} \ge 2\sqrt {\left( {x + 2} \right).\frac{2}{{x + 2}}}  = 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow f\left( x \right) = x + 2 + \frac{2}{{x + 2}} - 2 \ge 2\sqrt 2  - 2.\end{array}$

Dấu ‘‘=’’ xảy ra $\Leftrightarrow x + 2 = \frac{2}{{x + 2}} \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 2$

                           $\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2 = \sqrt 2 \,\,\,\,\left( {do\,\,x + 2 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x = \sqrt 2  - 2\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}$

Vậy $\mathop {Min}\limits_{\left( { - 2; + \infty } \right)} f\left( x \right) = 2\sqrt 2  - 2$ khi $x = \sqrt 2  - 2.$