Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=x/2 + 2/(x-1)

Đáp án:

$\max y = \frac{5}{2}$ 

Giải thích các bước giải:

$y = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 + 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$\begin{array}{l} \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{x - 1}}{2}.\frac{2}{{x - 1}}} \\  \leftrightarrow \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2} \ge 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\\  \to \max y = \frac{5}{2} \leftrightarrow \frac{{x - 1}}{2} = \frac{2}{{x - 1}} \leftrightarrow {(x - 1)^2} = 4 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x =  - 1 \end{array} \right. \end{array}$