Tìm cực trị của hàm số sau: f(x;y)= x^3+y^3-9xy+5

Đáp án:

$f_{\min} = - 22\Leftrightarrow (x;y) = (3;3)$

Giải thích các bước giải:

$f(x,y) = x^3+y^3-9xy+5$

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\quad \begin{cases}f_x' = 0\\f_y' = 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}3x^2 - 9y = 0\\3y^2 - 9x = 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = 3\end{array}\right.\\
\Rightarrow \text{Hàm số có hai điểm dừng $M_1(0;0);\ M_2(3;3)$}\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}A = f_{xx}'' = 6x\\B = f_{xy}'' = -9\\C = f_{yy}'' = 6y\end{cases}\\
\bullet\ \ \text{Tại điểm dừng $M_1(0;0)$ ta có:}\\
\begin{cases}A = 0\\B = -9\\C = 0\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC >0\\
\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_1(0;0)$}\\
\bullet\ \ \text{Tại điểm dừng $M_2(3;3)$ ta có:}\\
\begin{cases}A = 18 >0\\B = -9\\C = 18\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = -243 <0\\
\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại $M_2(3;3);\ f_{\min} = -22$}
\end{array}\)