tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn bất phương trình x^2+y^2+z^2 < xy + 3y +2z -3 giúp minh nhanh với ạ

Bạn tham khảo !

`x^2+y^2+z^2 < xy + 3y +2z -3`

`<=>x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+3<0`

Vì `x;y;z\inZZ`

`x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+2<=-1`

`->x^2+(4y^2)/4+x^2-xy-3y-2z+3+1<=0`

`->x^2+(y^2+3y^2)/4++z^2-xy-3y-2z+3+1<=0`

`->x^2+y^2/4+(3y)^2/4+z^2-xy-3y-2z+3+1<=0`

`->(x^2-xy+y^2/4)+((3y^2)/4-3y+3)+(z^2-2z+1)<=0`

`->[x^2-2.x. y/2+(y/2)^2]+3(y^2/4-y+1)+(z-1)^2<=0`

`->(x-y^2/4)^2+3[(y/2)^2-2 . y/2 . 1+1^2]+(z-1)^2<=0`

`->(x-y/2)^2+3(y/2-1)^2+(z-1)^2<=0`

Nhận xét:

`(x-y/2)^2>=0 AA x`

`3(y/2-1)^2>=0 AA y`

`(z-1)^2>=0 AA z`

Nên `(x-y/2)^2+3(y/2-1)^2+(z-1)^2<=0 AA x,y,z`

Nên ta có:

$\begin{cases} x-\dfrac{y}{2}=0\\\dfrac{y}{2}-1=0\\z-1=0 \end{cases}$

`->`$\begin{cases} x-1=0\\\dfrac{y}{2}=0\\z-1=0 \end{cases}$

`->`$\begin{cases} x=1\\y=2\\z=1 \end{cases}$

Vậy `(x;y;z)=(1;2;1)`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `x^2+y^2+z^2<xy+3y+2z-3`

`<=>x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+3<0`

Vì `x, y, z\inZZ`

`=>x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+3<=-1`

`<=>x^2+(4y^2)/4+z^2-xy-3y-2z+3+1<=0`

`<=>x^2+(y^2+3y^2)/4+z^2-xy-3y-2z+3+1<=0`

`<=>x^2+y^2/4+(3y^2)/4+z^2-xy-3y-2z+3+1<=0`

`<=>(x^2-xy+y^2/4)+((3y^2)/4-3y+3)+(z^2-2z+1)<=0`

`<=>[x^2-2.x. y/2+(y/2)^2]+3(y^2/4-y+1)+(z-1)^2<=0`

`<=>(x-y/2)^2+3[(y/2)^2-2. y/2 .1+1^2]+(z-1)^2<=0`

`<=>(x-y/2)^2+3(y/2-1)^2+(z-1)^2<=0`

 Mà `(x-y/2)^2+3(y/2-1)^2+(z-1)^2>=0, ∀x, y, z`

`=>(x-y/2)^2+3(y/2-1)^2+(z-1)^2=0`

`=>`$\begin{cases} (x-\dfrac{y}{2})^2=0\\(\dfrac{y}{2}-1)^2=0\\(z-1)^2=0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} x-\dfrac{y}{2}=0\\\dfrac{y}{2}-1=0\\z-1=0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} x-1=0\\\dfrac{y}{2}=1\\z=1 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} x=1\\y=2\\z=1 \end{cases}$

 Vậy `(x; y; z)=(1; 2; 1)`