Tìm các số nguyên dương `x` $\geqslant$ `y` $\geqslant$ `z` thỏa mãn `x , y , z , x - y , y - z , x - z` là số nguyên tố

Nếu trong `3` số `,` có `2` số bằng nhau thì trong `3` số `x - y , y - z , x-  z` sẽ có `1` số bằng `0 (` không phải là số nguyên dương `)`

`⇒ x > y > z ( 1 ) `

Nếu cả ba số đều là số lẻ thì cả `3` số `x - y , y - z , x - z` đều chẵn

`⇒` `{(x - y = 2),(x - z = 2):}` `⇒` `{(x = y + 2),(x = z + 2):}`

`⇒ y + 2 = z + 2 ⇒ y = z (` Vô lý `) ( 2 )`

Từ `( 1 )` và `( 2 ) ⇒ z = 2`

`⇒ x > y > 2 ⇒ x , y` lẻ

`⇒ x - y` chẵn `⇒ x - y = 2`

Nếu `y = 3 ⇒ y - z = 3 - 2 = 1` không phải số nguyên tố `(` Loại `)`

Do `y` là số nguyên tố nên `y` có dạng `3k + 1` hoặc `3k + 2`

Xét `y = 3k + 1 ⇒ x - ( 3k + 1 ) = 2`

`⇒ x = 2 + 3k + 1`

`⇒ x = 3k + 3 vdots 3` là hợp số `(` Loại `)`

Xét `y = 3k + 2 ⇒ y - z = 3k + 2 - 2 = 3k`

Do `y - z` là số nguyên tố `⇒ 3k` là số nguyên tố

`⇒ k = 1 ⇒ 3k = 3`

`⇒ y = 3 + z = 3 + 2`

`⇒ y = 5`

`⇒ x = 5 + 2 = 7`

Thử lại `,` ta thấy `x , y , z` thỏa mãn yêu cầu đề bài

Vậy `; x = 7 , y = 5 , z = 2 .`