Tìm a để GTLN của hàm số y= (1 + asin(x) ) / ( 2 + cos(x) ) đạt GTNN.

Đáp án:

\(a=0\)

Giải thích các bước giải: \(\begin{array}{l}y = \frac{{1 + a\sin x}}{{2 + \cos x}} \Leftrightarrow 1 + a\sin x = 2y + y\cos x\\ \Leftrightarrow a\sin x - y\cos x = 2y - 1\left( * \right)\end{array}\) Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {y^2} \ge {\left( {2y - 1} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} + {y^2} \ge 4{y^2} - 4y + 1 \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y + 1 - {a^2} \le 0\) Có \(\Delta ' = 4 - 3\left( {1 - {a^2}} \right) = 1 + 3{a^2} > 0,\forall a\) nên bất phương trình trên có nghiệm \(2 - \sqrt {1 + 3{a^2}} \le y \le 2 + \sqrt {1 + 3{a^2}} \) Suy ra \(\max y = 2 + \sqrt {1 + 3{a^2}} \ge 2 + \sqrt {1 + {{3.0}^2}} = 3\) nên GTLN của hàm số đạt GTNN nếu \(a = 0\).