Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức: `a)(a+b)(b+c)(c+a)\ge8abc;a,b,c\ge0` `b)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\ge9abc;a,b,c\ge0` `c){bc}/a + {ac}/b + {ab}/c \ge a+b+c;a,b,c\ge0`

Giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số thực không âm a,b,c:

$a,$ 

$a+b \ge 2\sqrt[]{ab}$ $(1)$

$b+c \ge 2\sqrt[]{bc}$ $(2)$

$c+a \ge 2\sqrt[]{ca}$ $(3)$

Nhân ba vế $(1).(2).(3)$, ta có:

$(a+b)(b+c)(c+a) \ge 2\sqrt[]{ab}.2\sqrt[]{bc}.2\sqrt[]{ac} = 8abc$ $(đpcm)$

Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c$

$b,$

$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$ $(1)$

$a^2+b^2+c^2 \ge 3\sqrt[3]{(abc)^2}$ $(2)$

Nhân hai vế $(1).(2)$, ta có:

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge 3.\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{(abc)^2} =9abc$ $(đpcm)$

Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c$

$c,$ (Đây là kĩ thuật ghép cặp trong Cô-si nha)

$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b} \ge 2\sqrt[]{\dfrac{bc}{a} . \dfrac{ac}{b}} = 2c$ $(1)$

$\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c} \ge 2\sqrt[]{\dfrac{ac}{b} . \dfrac{ab}{c}} = 2a$ $(2)$

$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ab}{c} \ge 2\sqrt[]{\dfrac{bc}{a} . \dfrac{ab}{c}} = 2b$ $(3)$

Cộng ba vế $(1)+(2)+(3)$, ta có:

$2(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b} +\dfrac{ab}{c}) \ge 2(a+b+c)$

$=>\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b} +\dfrac{ab}{c} \ge a+b+c$ $(đpcm)$

Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c$

Đáp án và giải thích các bước giải:

`a)`

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta có :

`a+b≥2\sqrt[ab]`

`b+c≥2\sqrt[bc]`

`c+a≥2\sqrt[ac]`

`⇒` `(a+b)(b+c)(c+a)≥2\sqrt[ab].2\sqrt[bc].2\sqrt[ca]`

`⇔` `(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc`

`b)` 

Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm ta có :

$a+b+c≥3\sqrt[3]{abc}$

$a^2+b^2+c^2≥3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

`⇒` $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)≥3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

`⇔` $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)≥9abc$

`c)`

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta có :

`{ab}/{c}+{bc}/{a}≥2\sqrt[{ab}/{c}.{bc}/{a}]=2b`

`{bc}/{a}+{ca}/{b}≥2\sqrt[{bc}/{a}.{ca}/{b}]=2c`

`{ca}/{b}+{ab}/{c}≥2\sqrt[{ca}/{b}.{ab}/{c}]=2a`

`⇒` `2({bc}/{a}+{ac}/{b}+{ab}/{c})≥2(a+b+c)`

`⇔` `{bc}/{a}+{ac}/{b}+{ab}/{c}≥a+b+c`