Số nghiệm nguyên của phương trình: $\sqrt{x-3}$ + 5 = $\sqrt{7-x}$ + x là A. 0 B. 2 C. 3 D. 1

Đáp án:

 $C$

Giải thích các bước giải:

 `\qquad \sqrt{x-3}+5=\sqrt{7-x}+x` `(1)`

`ĐKXĐ:` $\begin{cases}x-3\ge 0\\7-x\ge 0\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}x\ge 3\\x\le 7\end{cases}$

`=>x\in [3;7]`

Vì `x\in ZZ=>x\in {3;4;5;6;7}`

Thay lần lượt `x\in {3;4;5;6;7}` vào `(1)`

+) `x=3`

`(1)<=>\sqrt{3-3}+5=\sqrt{7-3}+3<=>5=5` (đúng)

$\\$

+) `x=4`

`(1)<=>\sqrt{4-3}+5=\sqrt{7-4}+3`

`<=>6=\sqrt{3}+3` (vô lý)

$\\$

+) `x=5`

`(1)<=>\sqrt{5-3}+5=\sqrt{7-5}+5`

`<=>\sqrt{2}+5=\sqrt{2}+5` (đúng)

$\\$

+) `x=6`

`(1)<=>\sqrt{6-3}+5=\sqrt{7-6}+3`

`<=>\sqrt{3}+5=4` (vô lý)

$\\$

+) `x=7`

`(1)<=>\sqrt{7-3}+5=\sqrt{7-7}+7<=>7=7` (đúng)

`=>` phương trình có `3` nghiệm nguyên là: `3;5;7`

Vậy đáp án $C$

______

Hoặc giải phương trình:

 `\qquad \sqrt{x-3}+5=\sqrt{7-x}+x` `(1)`

`ĐKXĐ:` $\begin{cases}x-3\ge 0\\7-x\ge 0\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}x\ge 3\\x\le 7\end{cases}$

Đặt `a=\sqrt{x-3}; b=\sqrt{7-x}\ (a;b\ge 0)`

`=>a^2=x-3=>x=a^2+3`

`(1)<=>a+5=b+a^2+3`

`=>b=-a^2+a+2`

Ta có:

`\qquad a^2+b^2=x-3+7-x`

`<=>a^2+(-a^2+a+2)^2=4`

`<=>a^2+a^4+a^2+4-2a^3-4a^2+4a-4=0`

`<=>a^4-2a^3-2a^2+4a=0`

`<=>a(a^3-2a^2-2a+4)=0`

`<=>a.[a^2(a-2)-2(a-2)]=0`

`<=>a.(a-2)(a^2-2)=0`

`<=>a(a-2)(a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})=0`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}a=0\ (tm)\\a=2\ (tm)\\a=\sqrt{2}\ (tm)\\a=-\sqrt{2}\ (loại)\end{array}\right.$

+) `TH: a=0`

`<=>\sqrt{x-3}=0`

`<=>x=3` (thỏa mãn)

$\\$

+) `TH: a=2`

`<=>\sqrt{x-3}=2`

`<=>x-3=4`

`<=>x=7` (thỏa mãn)

$\\$

+) `TH: a=\sqrt{2}`

`<=>\sqrt{x-3}=\sqrt{2}`

`<=>x-3=2`

`<=>x=5` (thỏa mãn)

`=>` phương trình có `3` nghiệm nguyên là: `3;5;7`

Vậy đáp án $C$