Sản xuất thử 100 sản phẩm trên một dây chuyền, thấy có 60 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Với độ tin vậy 95%. a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của dây chuyền bằng khoảng tin cậy đối xứng? b) Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn tối đa?

a) $n = 100;\ m = 60$

Tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong mẫu:

$f = \dfrac{m}{n} = \dfrac{60}{100} = 0,6$

Ta có:

$1 - \alpha = 0,95 \Rightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = 1,96$

Độ chính xác:

$\varepsilon = Z_{\tfrac{\alpha}{2}}\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} = 1,96\sqrt{\dfrac{0,6(1-0,6)}{100}} = 0,096$

Gọi $p$ là tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của dây chuyền

Ước lượng tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của dây chuyền là:

$p\in (0,6 - 0,096;0,6 +0,096) = (0,504;0,696)$

Vậy tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của dây chuyền khoảng từ $50,4\%$ đến $69,6\%$ với độ tin cậy $95\%$

b) $n = 100;\ m' = 40$

Tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong mẫu:

$f' = \dfrac{m'}{n} = \dfrac{40}{100} = 0,4$

Ta có:

$1 - \alpha = 0,95 \Rightarrow Z_{\alpha} = 1,65$

Độ chính xác:

$\varepsilon = Z_{\alpha}\sqrt{\dfrac{f(1- f)}{n}} = 1,65\sqrt{\dfrac{0,4.(1-0,4)}{100}} = 0,0808$

Gọi $p'$ là tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn

Khoảng ước lượng tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn tối đa là:

$p'\in (-\infty;0,4 + 0,0808) = (-\infty;0,4808)$

Vậy tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn tối đa là $48,08\%$ với độ tin cậy $95\%$