P y=x^2-3mx+5 Định m để đường thẳng d y=-x-2 cắt parabol p tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho OB vuông góc với OB tính diện tích tam giác OAB

Đáp án:

\({S_{OAB}} = \dfrac{2\sqrt{493}}9\)

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 3mx + 5 =  - x - 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {3m - 1} \right)x + 7 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta  = {\left( {3m - 1} \right)^2} - 28 > 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} - 6m - 27 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + 2\sqrt 7 }}{3}\\m < \dfrac{{1 - 2\sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m - 1\\{x_1}{x_2} = 7\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}A \in \left( P \right) \cap \left( d \right) \Rightarrow A\left( {{x_1}; - {x_1} - 2} \right)\\B \in \left( P \right) \cap \left( d \right) \Rightarrow B\left( {{x_2}; - {x_2} - 2} \right)\end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_1}; - {x_1} - 2} \right),\,\,\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_2}; - {x_2} - 2} \right)\)

Vì OA vuông góc với OB nên

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + \left( { - {x_1} - 2} \right)\left( { - {x_2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2.7 + 2.\left( {3m - 1} \right) + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {3m - 1} \right) =  - 18\\ \Leftrightarrow 3m - 1 =  - 9\\ \Leftrightarrow 3m =  - 8\\ \Leftrightarrow m =  - \dfrac{8}{3}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)  

Khi đó ta có: \(\left( * \right):\,\,{x^2} + 9x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 9 \pm \sqrt {53} }}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 9 + \sqrt {53} }}{3};\dfrac{{3 - \sqrt {53} }}{3}} \right) \\B\left( {\dfrac{{ - 9 - \sqrt {53} }}{3};\dfrac{{3 + \sqrt {53} }}{3}} \right) \end{array}\)

$\Rightarrow\vec {OA}=(x_A-0;y_A-0)=(x_A;y_A)\Rightarrow OA=\sqrt{x_A^2+y_A^2}$

$\Rightarrow OA=\dfrac{2\sqrt{49-6\sqrt{53}}}3,OB=\dfrac{2\sqrt{49+6\sqrt{53}}}3$

Diện tích \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{2\sqrt{493}}9\).