Một thanh dài 14,0 cm tích điện đều với tổng điện tích 22,0 uC. Hãy xác định (a) độ lớn và (b) hướng của điện trường tại một điểm trên trục của thanh và điểm giữa của thanh.

Đáp án:

\(\frac{{kQ\sqrt 2 }}{{r\sqrt {{L^2} + 2{r^2}} }}\)

Giải thích các bước giải:

Gọi M là một điểm nằm trên trục của thanh cách thanh một đoạn r. 

Lấy vi phân một đoạn như trên hình vẽ, ta có:

\[dE = \frac{{kdq}}{{{x^2} + {r^2}}} = \frac{{kQ}}{L}\frac{{dx}}{{{x^2} + {r^2}}}\]

Vì thành phần dE trên phương ngang đã triệt tiêu lẫn nhau do tính đối xứng nên tổng điện trường bằng tổng điện trường trên phương thẳng đứng nên ta có:

\[\begin{array}{l}
E = \int {dE\cos \alpha  = } \frac{{kQr}}{L}\int\limits_{ - \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + {r^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} \\
 = \frac{{kQ}}{{Lr}}\int\limits_{ - \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} {\frac{{\frac{{dx}}{r}}}{{{{\left( {{{\frac{x}{r}}^2} + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} \\
 = \frac{{kQ}}{{Lr}}\left( {\frac{{\frac{L}{2}}}{{\sqrt {{{\frac{L}{2}}^2} + {r^2}} }} - \left( { - \frac{{\frac{L}{2}}}{{\sqrt {{{\frac{L}{2}}^2} + {r^2}} }}} \right)} \right)\\
 = \frac{{kQ\sqrt 2 }}{{r\sqrt {{L^2} + 2{r^2}} }}
\end{array}\]

Riêng tại điểm chính giữa thanh do đối xứng nên ta có thể dễ dàng nhận thấy E=0.