Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có khối lượng m = 100g, được treo thẳng đứng vào một giá cố định. Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo giãn 2,5cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới cách vị trí cân bằng O một đoạn 2cm rồi truyền cho nó vận tốc 40 √3 cm/s theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Chọn trục toạ độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc tại O, chiều dương hướng lên trên; gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Lấy g = 10m/s2. a) Tính độ cứng của lò xo, viết phương trình dao động của vật, xác định vị trí và tính vận tốc của vật lúc thế năng bằng 2/3 lần động năng. b) Tính thế năng, động năng và vận tốc của vật tại vị trí có li độ x = 3cm.

Đáp án:

a) \(x = 4\cos \left( {20t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)

b) 0,018J và 0,014J

Giải thích các bước giải:

a) Độ cứng của lò xo là:

\(k = \dfrac{{mg}}{{\Delta {l_0}}} = \dfrac{1}{{0,025}} = 40N/m\)

Tần số góc là:

\(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{40}}{{0,1}}}  = 20rad/m\)

Biên độ dao động là:

\(\begin{array}{l}
{A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = 4 + \dfrac{{4800}}{{400}} = 16\\
 \Rightarrow A = 4cm
\end{array}\)

Pha dao động ban đầu:

\(\cos \varphi  = \dfrac{x}{A} = \dfrac{{ - 2}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \varphi  = \dfrac{{2\pi }}{3}\)

Phương trình dao động:

\(x = 4\cos \left( {20t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)

Bảo toàn cơ năng tại vị trí thế năng = 2/3 động năng:

\(\begin{array}{l}
{\rm{W}} = {{\rm{W}}_t} + {{\rm{W}}_d} = \dfrac{5}{3}{{\rm{W}}_d}\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{2}k{A^2} = \dfrac{5}{3}.\dfrac{1}{2}m{v^2}\\
 \Rightarrow v = \sqrt {\dfrac{3}{5}.\dfrac{{k{A^2}}}{m}}  = \sqrt {\dfrac{3}{5}.\dfrac{{40.0,{{04}^2}}}{{0,1}}}  = 0,62m/s
\end{array}\)

b) Thế năng của vật là:

\({{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}k{x^2} = \dfrac{1}{2}.40.0,{03^2} = 0,018J\)

Động năng của vật là:

\({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}k{A^2} - {{\rm{W}}_t} = 0,032 - 0,018 = 0,014J\)