một bán cầu có bán kính r trượt đều theo đường thẳng nằm ngang ,ngang qua quả cầu nhỏ cách mặt phẳng ngang một đoạn bằng R ngay khi đỉnh bán cầu đi ngang qua quả cầu nhỏ thì nó buông rơi tự do . tìm vận tốc nhỏ nhất của bán cầu để nó không cản trở sự rơi tự do của quả cầu nhỏ. Cho R=40cm g=10m/s2

Đáp án: \({v_{\min }} = 2m/s\)

Giải thích các bước giải:

Ta có:

+ Quãng đường bán cầu đi: \({S_1} = vt\)

+ Quãng đường vật rơi tự do: \({S_2} = \dfrac{1}{2}g{t^2}\)

Khi bán cầu di chuyển trong thời gian t thì khoảng trống h mà bán cầu tạo ra là:

\(h = R - d = R - Rcos\alpha  = R\left( {1 - cos\alpha } \right)\)

Vì góc \(\alpha \) nhỏ nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  \approx \tan \alpha  = \alpha \\cos\alpha  \approx 1 - \dfrac{{{\alpha ^2}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow h = R.\dfrac{{{\alpha ^2}}}{2} = R.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{S_1}}}{R}} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{S_1^2}}{{2R}}\)

Đề thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:

\(\begin{array}{l}h \ge {S_2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{S_1^2}}{{2R}} \ge \dfrac{1}{2}g{t^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {vt} \right)}^2}}}{{2R}} \ge \dfrac{1}{2}g{t^2}\\ \Rightarrow {v^2} \ge gR\\ \Rightarrow v \ge \sqrt {gR}  = \sqrt {10.0,4}  = 2m/s\end{array}\)