Kí hiệu D min là khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = 1/3x^3 - mx^2 -x +m+1. Tìm D min

Đáp án:

GTNN$D=\dfrac{2\sqrt{13}}3$ khi $m=0$

Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac13.x^3 - mx^2 -x +m+1$

$y'=x^2-2mx-1$ $(\Delta'=m^2+1>0$ luôn có 2 điểm cực trị$)$

$y=y'(\dfrac13.x-\dfrac13.m)-\dfrac{2+2m^2}3x+\dfrac23.m+1$

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là

$y=-\dfrac23(1+m^2)x+\dfrac23m+1$

Gọi $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$

$\Rightarrow AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$=\sqrt{(x_2-x_1)^2+\left[{-\dfrac23(1+m^2)}\right]^2(x_2-x_1)^2}$

$=\sqrt{\left[{1+\dfrac49(1+m^2)^2}\right](x_2-x_1)^2}$

$=\sqrt{\dfrac{9+4(1+2m^2+m^4)}9\left[{(x_1+x_2)^2-4x_1.x_2}\right]}$

$=\sqrt{\dfrac{9+4+8m^2+4m^4}9(4m^2+4)}$

$=\dfrac{\sqrt{\left[{9+4(1+m^2)^2}\right](4m^2+4)}}3$

$=\dfrac23\sqrt{9(m^2+1)+4(m^2+1)^3}$

Do $m^2+1\ge1$ $\forall m$

$\Rightarrow\sqrt{9(m^2+1)+4(m^2+1)^3}\ge\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$

$\Rightarrow d\ge\dfrac{2\sqrt{13}}3$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow m=0$