hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi. Biết A C = 2 , A A ′ = √ 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (AB'D') và (CB'D')

Đáp án:

$((AB'D'),(CB'D'))=60^o$

Lời giải:

Gọi $A'C'∩B'D'\equiv I$ do tứ giác $A'B'C'D'$ là hình thoi $⇒A'C'⊥B'D'\equiv I$

Ta có: $(AB'D') ∩ (CB'D')\equiv B'D'$ các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật bằng nhau nên AB'=AD'=CB'=CD'

$⇒ ΔAB'D'$ cân tại A và $\Delta CB'D'$ cân tại  C

$⇒AI⊥B'D'$ và $CI⊥B'D'$

$\Rightarrow ((AB'D'), (CB'D')) =\widehat{AIC}$

Xét $ΔCIC'$ và $ΔAIA'$ có: $IA'=IC'=\dfrac{A'C'}{2}=1$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $CC'I$ và $\Delta$ vuông $AA'I$:

$IC²=CC'²+IC'²=3+1=4$

$IA²=AA'²+IA'²=3=1=4$

$⇒IC=IA=2 =AC ⇒ΔIAC$  đều $⇒ \widehat{AIC}=60^o$

Vậy $((AB'D'), (CB'D')) =\widehat{AIC}=60^o$