Hai xe đồng thời xuất phát từ điểm A chuyển động thẳng đều về điểm B, đoạn đường AB có độ dài là L. Xe thứ nhất trong nử đầu đoạn đường đầu của đoạn đường AB đi với vận tốc m, nửa đoạn còn lại đi với vận tốc n. Xe thứ hai trong nửa đầu của tổng thời gian đi với vận tốc m, nửa còn lại đi với vận tốc n. Biết m khác n. Hỏi xe nào đến B trước và trước bao lâu?

Đáp án:

 Gọi độ dài quãng đường là $L (m)$ 

Thời gian xe 1 đi nửa quãng đường đầu là: 

     $t_{11} = \dfrac{L}{2m} (h)$ 

Thời gian xe 1 đi nửa quãng đường sau là: 

     $t_{12} = \dfrac{L}{2n} (h)$ 

Tổng thời gian xe 1 đi hết quãng đường là: 

$t_1 = t_{11} + t_{12} = \dfrac{L}{2m} + \dfrac{L}{2n} = \dfrac{nL + mL}{2mn} = \dfrac{(m + n).L}{2mn}(h)$ 

Gọi thời gian xe 2 đi hết quãng đường là $t_2 (h)$ 

Quãng đường xe 2 đi được trong nửa thời gian đầu là: 

       $s_{21} = m.\dfrac{t_2}{2} = \dfrac{mt_2}{2} (km)$ 

Quãng đường xe 2 đi được trong nửa thời gian sau là: 

       $s_{22} = n.\dfrac{t_2}{2} = \dfrac{nt_2}{2} (km)$ 

Ta có: $s_{11} + s_{12} = L$ 

$\Rightarrow \dfrac{mt_2}{2} + \dfrac{nt_2}{2} = L$ 

$\Rightarrow (m + n).t_2 = L \Rightarrow t_2 = \dfrac{2L}{m + n} (h)$ 

Xét: $t_1 - t_2 = \dfrac{(m + n).L}{2mn} - \dfrac{2L}{m + n}$ 

$= \dfrac{(m + n).L.(m + n) - 2mn.2L}{2mn(m + n)}$ 

$= \dfrac{(m + n)^2.L - 4mn.L}{2mn(m + n)} = \dfrac{m^2 + 2mn + n^2 - 4mn).L}{2mn(m + n)}$ 

$= \dfrac{(m^2 - 2mn + n^2).L}{2mn(m + n)} = \dfrac{(m - n)^2.L}{2mn(m + n)}$ 

Do: $m > 0$; $n > 0$; $L > 0$
và: $(m - n)^2 > 0$ (với $m \neq n$)

nên: $t_1 - t_2 = \dfrac{(m - n)^2.L}{2mn(m + n)} > 0$ 

Vậy xe 1 sẽ đến trước xe hai và đến trước một khoảng thời gian: 

  $\Delta t = t_1 - t_2 = \dfrac{(m - n)^2.L}{2mn(m - n)}$

Giải thích các bước giải: