GTNN và GTLN của hàm số y=√sinx + √cosx với x thuộc [ 0;π/2]

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Dùng chức năng table của máy tính cầm tay

Nhập hàm số đã cho vào để khảo sát và tìm GTLN, GTNN

Ta có: $y = \sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}$

$\Rightarrow y^2 = (\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x})^2 \leq (1^2 + 1^2)(\sin x + \cos x)$

$\Rightarrow y =  |\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}| \leq \sqrt{2(\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x})}$

Ta lại có: $\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x} = \sqrt2.\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \leq \sqrt2$

$\Rightarrow y \leq \sqrt{2\sqrt2}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \sin x = \cos x \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4}$

Mặt khác:

$\begin{cases}0 \leq \sin x \leq 1\\0\leq \cos x \leq 1\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\sin^2x \leq \sqrt{\sin x}\\\cos^2x \leq \sqrt{\cos x}\end{cases}$

$\Leftrightarrow \sin^2x + \cos^2x \leq \sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}$

$\Leftrightarrow 1 \leq y$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}\sin x =0\\\cos x = 1\end{cases}\\\begin{cases}\sin x = 1\\cos x = 0\end{cases}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x = \left\{0;\dfrac{\pi}{2}\right\}$