Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^{3}-3x^{2}-m^{3}+3m^{2}=0$ có ba nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần tử của $T$ bằng? A. 1 B. 5 C. 0 D. 3

Đáp án:

$A.\ 1$

Giải thích các bước giải:

$\quad x^3 - 3x^2 - m^3 + 3m^2 = 0\qquad (*)$

$\Leftrightarrow (x-m)[x^2 + (m-3)x + m^2 - 3m] = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = m\\x^2 + (m-3)x + m^2 - 3m = 0\qquad (**)\end{array}\right.$

$(*)$ có `3` nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$(**)$ có `2` nghiệm phân biệt khác $m$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_{(**)} >0\\m^2 + (m-3).m + m^2 - 3m \ne 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}(m-3)^2 - 4(m^2 - 3m) >0\\m^2 - 2m \ne 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}-1 < m < 3\\m \ne 0\\m \ne 2\end{cases}$

Ta lại có:

$m\in \Bbb Z$

Do đó:

$m\in T = \{1\}$