Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn |z – i| ≥ 3 và |z – 2 – 2i| ≤ 5. Kí hiệu z1, z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức P = |z2 + 2.z1|.

Đáp án: \(\sqrt {53}\)

Giải thích các bước giải:

Tập hợp các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - i} \right| \ge 3\) là phần nằm ngoài đường tròn \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\) (có biên)

Tập hợp các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 2i} \right| \le 5\) là phần nằm trong đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) (có biên)

Do đó \(S\) là giao hai phần này.

Dựng hình ta thấy:

\(\left| z \right|\) nhỏ nhất nếu điểm biểu diễn \(z\) chính là điểm \(C\left( {0; - 2} \right)\) hay \({z_1} = - 2i\)

\(\left| z \right|\) lớn nhất nếu điểm biểu diễn \(z\) chính là điểm \(K\left( {7;2} \right)\) hay \({z_2} = 7 + 2i\)

Vậy \(P = \left| {{z_2} + 2{z_1}} \right| = \left| {7 + 2i - 4i} \right| = \left| {7 - 2i} \right| = \sqrt {53} \)