Gọi S là tập hợp các giác trị nguyên dương của m đẻ hàm số y=x^3(2m+1)x^2+(12m+5)x+2 đồng biến trên khoản (2;+∞). số phần tử của S bằng.

Đáp án:

S=8

Lời giải:

Ta có

$y' = 3x^2 - 2(2m+1)x + 12m + 5$

Xét phương trình $y' = 0$

$3x^2 - 2(2m+1)x + 12m + 5 = 0$

Có $\Delta' = (2m+1)^2 - 3(12m + 5)$

$= 4m^2 -32m - 14 $

$= 2(2m^2 - 16m - 7)$

Để hàm số đồng biến thì $y' > 0$ với mọi $x \in (2, +\infty)$

TH1: $\Delta' <0$.

Khi đó, do hệ số của $x^2$ trong y' lớn hơn 0 nên để y' > 0 thì $\Delta' < 0$ hay

$2m^2 - 16m - 7 < 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{8-\sqrt{78}}{2} < m < \dfrac{8+\sqrt{78}}{2}$

$\Leftrightarrow 1 \leq m \leq 8$

Vậy có 8 giá trị nguyên dương thỏa mãn.

TH2: $\Delta' > 0$

Khi đó, ta có $m < \dfrac{8-\sqrt{78}}{2}$ hoặc $m > \dfrac{8 + \sqrt{78}}{2}$

và phương trình có 2 nghiệm là

$x = \dfrac{2m+1 \pm \sqrt{4m^2 - 32m - 14}}{3}$

Ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(\dfrac{2m+1 + \sqrt{4m^2 - 32m - 14}}{3}, +\infty)$

Vậy để thỏa mãn đề bài thì $(2, +\infty)$ phải là tập con của khoảng trên, tức là

$\dfrac{2m+1 + \sqrt{4m^2 - 32m - 14}}{3} < 2$

$\Leftrightarrow 2m + 1 + \sqrt{4m^2 - 32m - 14} < 6$

$\Leftrightarrow \sqrt{4m^2 - 32m - 14} < 5-2m$

ĐK: $m \leq \dfrac{5}{2}$. Bình phương 2 vế ta có

$4m^2 - 32m - 14 < 4m^2 - 20m + 25$

$\Leftrightarrow -12m -39 < 0$

$\Leftrightarrow 12m + 39 > 0$

$\Leftrightarrow m > -\dfrac{13}{6}$

Kết hợp với điều kiện ta có $-\dfrac{13}{6} < m < \dfrac{8-\sqrt{78}}{2}$. Vậy ko có gía trị nguyên dương nào thỏa mãn.

Vậy số phần tử của S là 8.