Gọi 𝐶 là tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện 𝑧+2+5𝑖/𝑧−𝑖 là một số thuần ảo. Biết rằng 𝐶 là một đường tròn. Bán kính 𝑟 của đường tròn đó là A. 𝑟 = √3. B. 𝑟 = √10. C. 𝑟 = 3. D. 𝑟 = 5

Đáp án:

$B.\ \sqrt{10}$

Giải thích các bước giải:

Đặt $z = a + bi\ \ (a;b\in\Bbb R)$

$\Rightarrow M(a;b)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng phức

Ta có:

$\quad \dfrac{z + 2 + 5i}{z- i}$

$= \dfrac{(a+2) + (b+5)i}{a + (b-1)i}$

$=\dfrac{[(a+2) + (b+5)i][a - (b-1)i]}{a^2 + (b-1)^2}$

$= \dfrac{a(a+2) + (b-1)(b+5) + [a(b+5) - (a+2)(b-1)]i}{a^2 + (b-1)^2}$

Phân số đã cho là một số thuần ảo khi và chỉ khi

$a(a+2) + (b-1)(b+5) = 0$

$\Leftrightarrow (a+1)^2 + (b+2)^2 = 10$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thoả mãn đề bài là đường tròn $(C)$ tâm $I(-1;-2),$ bán kinh $R =\sqrt{10}$