Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C). Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

Giả sử M(x₀, lnx₀) ∈ (C) (x₀ > 0 )

Ta có: y′=1xy′=1x

Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là:

y=1x0(x−xo)+lnx0y=1x0(x−xo)+ln⁡x0

Vậy với mọi x ∈ (0,+∞), ta cần chứng minh:          

1x0(x−x0)+lnx0≥lnx⇔xx0−1−lnxx0≥01x0(x−x0)+ln⁡x0≥ln⁡x⇔xx0−1−ln⁡xx0≥0 

Đặt t=xx0>0t=xx0>0

Xét hàm số g(t)=t–lntg(t)=t–ln⁡t với t > 0

g′=1−1t=t−1tg′=0⇔y=t=1g′=1−1t=t−1tg′=0⇔y=t=1 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có g(t)≥1g(t)≥1 với mọi t∈(0,+∞)t∈(0,+∞)

⇒t−lnt−1≥0⇒xx0−1−lnxx0≥0⇒t−ln⁡t−1≥0⇒xx0−1−ln⁡xx0≥0 với mọi x>0x>0

Vậy trên (0;+∞)(0;+∞) (C) nằm phía dưới đường thẳng (D)

 cho 5 sao nha