Giúpppppp Chứng minh x^3 +y^3 +z^3 -3xyz chia hết cho x+y+z  . Tìm thương của phép chia

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Biến đổi:

`x^3+y^3+z^3-3xyz`

`= (x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)-3x^2y-3xy^2+z^3-3xyz`

`=(x+y)^3-3xy(x+y)-3xyz+z^3`

`=[(x+y)^3+z^3]-3xy(x+y+z)`

`=(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y).z+z^2]-3xy(x+y+z)`

`=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-xz-yz)-3xy(x+y+z)`

`=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz-3xy)`

`=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)`

`-> (x^3+y^3+z^3-3xyz)/(x+y+z)=[(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)]/(x+y+z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Ta có : $x^3 +y^3 +z^3 -3xy\\=x^3 +3x^2 y+3xy^2 +y^3 +z^3 -3xyz-3x^2 y-3xy^2 \\=(x+y)^3 +z^3 -3xyz -3x^2 y-3xy^2 \\=(x+y+z)[(x+y)^2 -z(x+y)+ z^2] -3xy(z+x+y)\\=(x+y+z)[(x+y)^2 -z(x+y)+ z^2 -3xy]\\=(x+y+z)[x^2 +y^2 +z^2 -zx-zy-xy)\vdots x+y+z(đpcm)$

Vậy `x^3 +y^3 +z^3 -3xy \vdots x+y+z` và được thương là `x^2 +y^2 +z^2 -zx-zy-xy`