Giải và biện luận phương trình theo ẩn `x`: `(x-2)/(x-m)=(x-1)/(x+2)`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ: $x\ne m;x\ne-2$

$\dfrac{x-2}{x-m}=\dfrac{x-1}{x+2}$ 

$⇔(x-2)(x+2)=(x-m)(x-1)$

$⇔x^2-4=x^2-mx-x+m$

$⇔(m+1)x-(m+4)=0$ $(*)$

Với $m=-1$, $(*)⇔0x-3=0$ (vô nghiệm)

Với $m\ne-1$, phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{m+4}{m+1}$ 

Nhưng ta vẫn còn điều kiện $x\ne m$ và $x\ne -2$, do đó để phương trình có nghiệm như trên thì

$\begin{cases} \dfrac{m+4}{m+1}\ne m\\\dfrac{m+4}{m+1}\ne 2 \end{cases}$

$⇔\begin{cases} m+4\ne m^2+m\\m+4\ne 2m+2 \end{cases}$

$⇔m\ne ±2$

Vậy với $\left[\begin{matrix} m=-1\\ m\ne ±2\end{matrix}\right.$, phương trình vô nghiệm

       với $\begin{cases} m\ne-1\\m\ne ±2\end{cases}$, phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{m+4}{m+1}$