Giải pt: `log_2 \frac{3x² -5x +8}{x² +3x +2}= -x² +4x -3`

Đáp án:

$\left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=3\end{array} \right.$

Giải thích các bước giải:

$\log_2 \dfrac{3x^2-5x+8}{x^2+3x+2} =-x^2+4x-3\\ \text{ĐKXĐ: } \left\{\begin{array}{l} \dfrac{3x^2-5x+8}{x^2+3x+2}>0 \\ x^2+3x+2 \ne 0\end{array} \right.\\ \log_2 \dfrac{3x^2-5x+8}{x^2+3x+2} =-x^2+4x-3\\ \Leftrightarrow \log_2 (3x^2-5x+8)- \log_2 (x^2+3x+2)=-x^2+4x-3\\ \Leftrightarrow \log_2 (3x^2-5x+8)+\dfrac{1}{2} (3x^2-5x+8)= \log_2 (x^2+3x+2)+\dfrac{1}{2} (x^2+3x+2) (1)$

Xét hàm $f(t)=\log_2 t+\dfrac{1}{2}t (t>0)$

$f'(t)=\dfrac{1}{t \ln 2}+\dfrac{1}{2} >0 \ \forall \ t >0\\ \Rightarrow f(t) \text{ đồng biến } \ \forall \ t >0 \\ \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 3x^2-5x+8=x^2+3x+2\\ \Leftrightarrow 2x^2-8x+6=0\\ \Leftrightarrow x^2-4x+3=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=3\end{array} \right.$

Kiểm tra lại với điều kiện, ta thấy cả $2$ giá trị đều thoả mãn.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ:

Đặt $ : u = 3x^{2} - 5x + 8 > 0 $ với mọi $x$ 

$ v = x^{2} + 3x + 2 > 0 <=> x < - 2; x > - 1$

$ => - x^{2} + 4x - 3 = \dfrac{v - u}{2}$

$ PT <=> 2log_{2}\dfrac{u}{v} = v - u$

$ <=> u + 2log_{2}u = v + 2log_{2}v (*)$

Xét hàm $ f(t) = t + 2log_{2}t$ xác định với $ t > 0$

$ f'(t) = 1 + \dfrac{2}{tln2} > 0 => f(t) $ đồng biến 

$ (*) <=> u = v <=> - x^{2} + 4x - 3 = 0$

$ <=> x = 1; x = 3 (TM)$