Giải phương trình Sin^3x + cos ^3x =1-1/2sin2x

cos^3x + sin^3x = 1 - 1/2sin2x
<=> (sinx + cosx)(sin^2x - sinx.cosx + cos^2x) = sin^2x + cos^2x - 1/2.2sinx.cosx
<=> (sinx + cosx)(sin^2x - sinx.cosx + cos^2x) = sin^2x - sinx.cosx + cos^2x
<=> sinx + cosx = 1 (Chia cả 2 vế cho sin^2x - sinx.cosx + cos^2x > 0 với mọi x)
<=> sinx.1/√2 + cosx.1/√2 = 1/√2
<=> sinx.sinπ/4 + cosx.cosπ/4 = sinπ/4
<=> sin(x + π/4) = sinπ/4
<=> x + π/4 = π/4 + k2π
hoặc x + π4 = 3π/4 + k2π, k nguyên
<=> x = k2π hoặc x = π/2 + k2π, k nguyên

>>Chúc bạn học tốt nha

Đáp án:

$x = k2π ; x =\dfrac π2 + k2π$ $ (k∈Z)$

Giải thích các bước giải:

$\sin^3x+\cos^3x=1-\dfrac12\sin2x$

$⇔ (\sin x + \cos x) (\sin^2x - \sin x\cos x + \cos^2x) = 1-\dfrac12\sin2x$

$⇔ (\sin x + \cos x) (1- \sin x\cos x) = 1-\dfrac12\sin2x$

$⇔ (\sin x + \cos x) (1-\dfrac12\sin2x) = 1-\dfrac12\sin2x$

$⇔ (1-\dfrac12\sin2x) (\sin x + \cos x -1) = 0$

$⇔ 1-\dfrac12\sin2x =0\Leftrightarrow \sin2x=2>1$ (vô nghiệm)

hoặc $\sin x + \cos x -1 = 0$ (*)

Phương trình (*): $\cos \left({x-\dfrac π4}\right) =\dfrac{\sqrt2}2 =\cos\dfrac{ π}4$

$⇔ x-\dfrac π4 = ±\dfrac π4 + k2π$

$⇔ x = k2π ; x = \dfrac π2 + k2π$ $(k∈Z)$