Giải phương trình: 2sinx + cosx = 1

Đáp án:

$x = k2π$ và $x = π - 2\arcsin\dfrac 1{\sqrt5} + k2π$, $k$ nguyên

Lời giải:

$2\sin x + \cos x = 1$

$\Leftrightarrow\dfrac 2{\sqrt5} . \sin x + \dfrac1{\sqrt5} . \cos x =\dfrac 1{\sqrt5}$

Do $\left({\dfrac2{\sqrt5}}\right)^2 + \left({\dfrac1{\sqrt5}}\right)^2 = 1$

nên đặt $\dfrac2{\sqrt5} = \cos a$ và $\dfrac1{\sqrt5} = \sin a$

$\Rightarrow  \cos a.\sin x + \sin a. \cos x =\dfrac 1{\sqrt5}$

$\Leftrightarrow \sin (a+x) =\dfrac 1{\sqrt5}$

$\Leftrightarrow a+x = \arcsin \dfrac1{\sqrt5} + k2π$

hoặc $a+x= π-\arcsin \dfrac1{\sqrt5} + k2π$, $k$ nguyên

mà $a = \arcsin\dfrac 1{\sqrt5}$

$\Rightarrow  x = k2π$ hoặc $x = π - 2\arcsin\dfrac 1{\sqrt5} + k2π$, $k$ nguyên.