giải hệ phương trình x+y=5 và x^4+y^4=97

Đáp án:

$S = \left\{ {\left( {3;\,\,2} \right),\,\,\left( {2;\,\,3} \right)} \right\}.$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^4} + {y^4} = 97\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} - 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - 2xy} \right]^2} - 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right]^2} - 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left( {25 - 2xy} \right)^2} - 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow 625 - 100xy + 4{x^2}{y^2} - 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow 2{x^2}{y^2} - 100xy + 528 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = 44\\xy = 6\end{array} \right..\end{array}$

Với $xy = 44$ và $x + y = 5$ ta có $x,\,\,y$ là hai nghiệm của phương trình:

${t^2} - 5t + 44 = 0 \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Với $xy = 6$ và $x + y = 5$ ta có $x,\,\,y$ là hai nghiệm của phương trình:

${t^2} - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\end{array} \right..$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm: $S = \left\{ {\left( {3;\,\,2} \right),\,\,\left( {2;\,\,3} \right)} \right\}.$

Đáp án:

{x+y=5(1)x4+y4=97(2)(2)⇔x4+2x2y2+y4−2x2y2=97⇔(x2+y2)2−2x2y2=97⇔[(x2+2xy+y2)−2xy]2−2x2y2=97⇔[(x+y)2−2xy]2−2x2y2=97⇔(25−2xy)2−2x2y2=97⇔625−100xy+4x2y2−2x2y2=97⇔2x2y2−100xy+528=0⇔[xy=44xy=6.Vớixy=44vàx+y=5ta cóx,ylà hai nghiệm của phương trình:t2−5t+44=0⇒phương trình vô nghiệm.Vớixy=6vàx+y=5ta cóx,ylà hai nghiệm của phương trình:t2−5t+6=0⇔[t=3t=2⇒⎡⎢⎢⎢⎢⎣{x=3y=2{x=2y=3.Vậy hệ phương trình có tập nghiệm:S={(3;2),(2;3)}.

Giải thích các bước giải: