Giải hệ phương trình 3y=y^2+2 phần x^2 3x=x^2+2 phần y^2

Đáp án:

\(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right);\left( {2,92;2,92} \right)\).

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
3y = {y^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\\
3x = {x^2} + \frac{2}{{{y^2}}}
\end{array} \right.\,\,\left( {x,y \ne 0} \right)\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2}y = {x^2}{y^2} + 2\,\,\,\left( 1 \right)\\
3x{y^2} = {x^2}{y^2} + 2\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow 3{x^2}y = 3x{y^2}\\
 \Leftrightarrow 3xy\left( {x - y} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow x - y = 0\,\,\left( {Do\,\,x,y \ne 0} \right)\\
 \Leftrightarrow x = y
\end{array}\)

Thay \(x=y\) vào phương trình \(3y = {y^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}
3x = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\\
 \Leftrightarrow 3{x^3} = {x^4} + 2\\
 \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^3} + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^4} - {x^3} - 2{x^3} + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^3}\left( {x - 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 = y\\
x \approx 2,92 = y
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right);\left( {2,92;2,92} \right)\).