Giải bất đẳng thức 1/x-1 + 1/x+2 > 1/x-2

$ĐK:x\neq -1;x\neq -2;x\neq 2\\ \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+2}>\dfrac{1}{x-2}\\ \Leftrightarrow (x-2)(x+2)+(x-1)(x-2)>(x-1)(x+2)\\ \Leftrightarrow x^2-4+x^2-3x+2>x^2+x-2\\ \Leftrightarrow x^2-4x>0\\ \Leftrightarrow x(x-4)>0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x>4\\x<0\end{array} \right.$

Vậy $x>4$ hoặc $x<0;x\neq -1;x\neq -2$ thỏa mãn BĐT

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 \(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+2}>\dfrac{1}{x-2}\)

 \(\Leftrightarrow \dfrac{x+2}{(x-1)(x+2)}+\dfrac{x-1}{(x-1)(x+2)}>\dfrac{1}{x-2}\)

 \(\Leftrightarrow \dfrac{2x+1}{(x-1)(x+2)} - \dfrac{1}{x-2} > 0\)

 \(\Leftrightarrow \dfrac{(2x+1)(x-2)}{(x-1)(x+2)(x-2)} - \dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)(x-2)} > 0\)

 \(\Leftrightarrow \dfrac{(2x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)(x-2)} > 0\)

 \(\Leftrightarrow \dfrac{x(x-4)}{(x-1)(x+2)(x-2)} > 0\)

Lập bảng xét dấu ta có:

Vậy `f(x) > 0` khi `x \in (-2;0) ∪ (1;2) ∪ (4;+\infty)`