Giá trị của m để đường thẳng y=2x+m cắt đường cong y=x+1/x-1 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB ngắn nhất ?

Đáp án:

$m=-1$

Giải thích các bước giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:

$2m=\dfrac{x+1}{x-1}$ $(x\ne1)$

$\Rightarrow(2x+m)(x-1)=x+1$

$\Leftrightarrow 2x^2-2x+mx-m=x+1$

$\Leftrightarrow 2x^2+x(m-3)-m-1=0$ (*)

Để đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt A và B thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

$\Rightarrow\begin{cases}\Delta>0\\2+(m-3)-m-1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(m-3)^2-4.2.(-m-1)>0\\2+(m-3)-m-1\ne0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2+2m+17>0\text{ (luôn đúng)}\\-2\ne0\text{(luôn đúng)}\end{cases}$

Theo Vi-et ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{3-m}2\\x_1.x_2=\dfrac{-m-1}{2}\end{cases}$

Gọi $A(x_1;2x_1+m), B(x_2;2x_2+m)$

$\Rightarrow AB^2=(x_1-x_2)^2+(2x_1-2x_2)^2=5(x_1-x_2)^2$

Để AB ngắn nhất thì $(x_1-x_2)^2$ đạt nhỏ nhất

$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1.x_2$

$=\dfrac{(3-m)^2}4-4.\dfrac{-m-1}2$

$=\dfrac{9-6m+m^2+8m+8}4=\dfrac{m^2+2m+17}4$

$=\dfrac{m^2+2m+1}4+4\ge\dfrac{(m+1)^2}4+4\ge4$

Vậy $AB_{\min}=4$ dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow m=-1$.