GG' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tg A'B'C' . Cm vectơ AA'+BB'+CC'= 3GG'

Đáp án: `vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = 3vec{GG'}`

Giải thích các bước giải:

- Vì `G` là trọng tâm của `ΔABC`

`=> vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = 0`

- Vì `G'` là trọng tâm của `ΔABC`

`=> vec{G'A'} + vec{G'B'} + vec{G'C'} = 0`

- Áp dụng quy tắc 3 điểm, ta có:

`vec{AA'} = vec{AG} + vec{GG'} + vec{G'A'}`

`vec{BB'} = vec{BG} + vec{GG'} + vec{G'B'}`

`vec{CC'} = vec{CG} + vec{GG'} + vec{G'C'}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = vec{AG} + vec{GG'} + vec{G'A'} + vec{BG} + vec{GG'} + vec{G'B'} + vec{CG} + vec{GG'} + vec{G'C'}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = (vec{AG} + vec{BG} + vec{CG}) + 3vec{GG'} + (vec{G'A'} + vec{G'B'} + vec{G'C'}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = vec{0} + 3vec{GG'} + vec{0}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = 3vec{GG'}`                                                                 

Ta đã biết nếu G là trọng tâm của ABC thì

$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0$

$G'$ là trọng tâm của $\Delta A'B'C'$ thì:

$\vec{G'A'}+\vec{G'B'}+\vec{G'C'}=0$

Ta có:

$\vec{AA'} =\vec{AG}+\vec{GG'}+\vec{G'A'}$

$\vec{BB'}=\vec{BG}+\vec{GG'}+\vec{G'B'}$

$\vec{CC'}=\vec{CG}+\vec{GG'}+\vec{G'C}$

Cộng vế với vế

$\Rightarrow VT=\vec{ AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}$

$=(\vec{AG}+\vec{BG}+\vec{CG})+3\vec{GG'}+(\vec{G'A'}+\vec{G'B'}+\vec{G'C'})$

$=3\vec{GG'}=VP$ (điều phải chứng minh)