Định `k` để phương trình `x^2 - (2k + 1).x + k^2 + 2 = 0` có tỉ số giữa các nghiệm bằng `2`

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} x^{2} -( 2k+1) x+k^{2} +2=0\ \\ \Delta =( 2k+1)^{2} -4\left( k^{2} +2\right)\\ \ \ \ =4k^{2} +4k+1-4k^{2} -8\\ \ \ \ =4k-7\\ Để\ pt\ có\ nghiệm\ thì\ 4k-7\geqslant 0\ \rightarrow k\geqslant \frac{7}{4} \ \\ x_{1} =\frac{2k+1+\sqrt{4k-7}}{2}\\ x_{2} =\frac{2k+1-\sqrt{4k-7}}{2}\\ Vì\ tỉ\ số\ giữa\ \frac{x_{1}}{x_{2}} =2\ \\ Nên\ :\ \frac{2k+1+\sqrt{4k-7}}{2k+1-\sqrt{4k-7}} =2\ \\ \rightarrow 2k+1+\sqrt{4k-7} =2\left( 2k+1-\sqrt{4k-7}\right)\\ \rightarrow 2k+1+\sqrt{4k-7} -4k-2+2\sqrt{4k-7} =0\\ \rightarrow 3\sqrt{4k-7} =2k+1\ \\ \rightarrow 9( 4k-7) =( 2k+1)^{2}\\ \rightarrow 36k-63=4k^{2} +4k+1\\ \rightarrow 4k^{2} -32k+64=0\\ \rightarrow ( 2k-8)^{2} =0\ \\ \rightarrow 2k-8=0\ \\ \rightarrow k=4\ ( tmdk) \ \\ Vậy\ với\ k=4\ thì\ tỉ\ số\ giữa\ hai\ nghiệm\ pt\ =2\ \end{array}$