cotx-tanx=sinx+cosx chụp ảnh lời giải giùm mình với
2 câu trả lời
điều kiện có nghĩa: cosx, sinx khác 0 hay sin2x khác 0
Có: phương trình tương đương:
cosx/sinx - sinx/cosx = sinx + cosx
<=> (cosx)^2 - (sinx)^2 = sinx.cosx.(sinx + cosx)
<=> (cosx + sinx)(cosx - sinx) = sinxcosx(sinx + cosx)
<=> (sinx + cosx)(sinxcosx + sinx - cosx) = 0
Giải: sinx + cosx = 0 <=> tanx = -1 (do cosx khác 0)
<=> x = - pi / 4 + k * pi ( k thuộc Z )
Giải: sinxcosx + sinx - cosx = 0
<=> sinx(1 + cosx) = cosx
<=> sinx(1 + cosx) = (1 + cosx) -1
<=> (1 + cosx)(1- sinx) = 1
<=> 1 - sinx = 1 / (1 + cosx)
Đặt t = x/2, u = tant ta có:
1 + cosx = 1 + 2cos(x/2)^2 - 1 = 2(cost)^2
nên 1/ ( 1 + cosx) = 1 / [2(cost)^2] = 0.5 [ 1 + (tant)^2] = 0.5 ( 1 + u^2)
sinx = 2sintcot = 2tant / [1 + (tant)^2] = 2u / ( 1 + u^2)
nên 1 - sinx = 1 - 2u / (1+u^2) = ( u - 1)^2 / ( 1+ u^2 )
Do đó: (u - 1)^2 / ( 1 + u^2) = 0.5 ( 1 + u^2 )
<=> 2(u - 1)^2 = (1 + u^2)^2
<=> [căn2 * ( u -1 )]^ 2 = (1 + u^2)^2
Đến đây bạn chia ra 2 trường hợp rồi giải 2 phương trình bậc 2 tiếp
Đáp án:
$x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$; $x + \dfrac{\pi }{4} = \pm \arccos \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: $x \ne \dfrac{k\pi}{2}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\cot x - \tan x = \sin x + \cos x\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \sin x + \cos x\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} = \sin x + \cos x\\
\Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x.\cos x}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x + \cos x = 0\\
\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x.\cos x}} = - 1
\end{array} \right.
\end{array}$
+) TH1:
$\begin{array}{l}
\sin x + \cos x = 0\\
\Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi
\end{array}$
+) TH2: $\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x.\cos x}} = - 1(1)$
Ta đặt ${t = \sin x - \cos x\left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {t^2} = {\sin ^2}x - 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = 1 - 2\sin x.\cos x\\
\Rightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}
\end{array}$
(1) trở thành:
$\begin{array}{l}
\dfrac{t}{{\dfrac{{1 - {t^2}}}{2}}} = - 1\\
\Leftrightarrow {t^2} - 2t - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1 + \sqrt 2\text { (loại)} \\
t = 1 - \sqrt 2 \text{ (chọn)}
\end{array} \right.
\end{array}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\sin x - \cos x = 1 - \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} = \pm \arccos \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + k\pi\text{ (thỏa mãn)}
\end{array}$
Vậy phương trình có các họ nghiệm là:
$x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$; $x + \dfrac{\pi }{4} = \pm \arccos \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$