Cổng Acxơ được xem là đường Parabol, người ta đo khoảng cách giữa hai chân cổng là 162m. Từ một điểm trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là 43m và khoảng cách tới điểm chân cổng gần nhất là 44,15m. Hãy tính chiều cao của cổng.

Đáp án:

Chiều cao cổng xấp xỉ 185,6 m.

Giải thích các bước giải:

Đặt hệ trục Oxy như hình vẽ ta có: \(A\left( { - 81;0} \right);\,\,B\left( {81;0} \right)\).

Gọi điểm trên thân cổng là M như hình vẽ bên dưới, H là hình chiếu của M trên Ox

=> MB = 44,15m và MH = 43m

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BHM có:

\(BH = \sqrt {B{M^2} - M{H^2}} = 10\) (m)

\( \Rightarrow OH = OB - BH = 81 - 10 = 71\,\,\left( m \right)\).

\( \Rightarrow M\left( {71;43} \right)\).

Gọi phương trình parabol là \(y = a{x^2} + bx + c\) (P)

Đồ thị có trục đối xứng \(x = 0 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0 \Rightarrow y = a{x^2} + c\,\,\left( P \right)\).

(P) đi qua \(A \Rightarrow 6561a + c = 0\) (1)

(P) đi qua \(M \Rightarrow 43 = 5041a + c\) (2)

Giải hệ (1), (2) => \(a = - \frac{{43}}{{1520}},\,\,c = \frac{{282123}}{{1520}}\).

\( \Rightarrow \left( P \right):\,\,y = - \frac{4}{{1520}}{x^2} + \frac{{282123}}{{1520}}\)

\(C = \left( P \right) \cap Oy \Rightarrow C\left( {0;\frac{{282123}}{{1520}}} \right) \Rightarrow OC = \frac{{282123}}{{1520}} \approx 185,6\,\,\left( m \right)\).

Vậy chiều cao cổng xấp xỉ 185,6 m.