có x,y>0 x+y=2 CMR xy(x^2+y^2)<=2

\[\begin{array}{l} x,\,\,y > 0;\,\,\,x + y = 2\\ Ta\,\,\,co:\\ xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = xy\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - 2xy} \right)\\ = xy\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] = xy\left( {4 - 2xy} \right)\\ = 4xy - 2{\left( {xy} \right)^2}\\ = - 2\left[ {{{\left( {xy} \right)}^2} - 2xy + 1} \right] + 2\\ = - 2{\left( {xy - 1} \right)^2} + 2 \le 2\,\,\,\forall xy.\\ \Rightarrow xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 2\,\,\forall x,\,\,y > 0. \end{array}\]

Ta có:

`xy(x² + y²) `

`= xy[(x + y)² - 2xy] `

`= xy(4 - 2xy)`

`= 4xy - 2(xy)²`

`= 4xy - 2(xy²) - 2 + 2`

`= -2[(xy)² - 2xy + 1] + 2`

`= -2(xy - 1)² + 2`

Ta có: `(xy - 1)² ≥ 0 `với `x,y > 0`

`⇒ -2(xy - 1)² ≤ 0` với `x,y > 0`

`⇒ -2(xy - 1)² + 2 ≤ 2` với `x,y > 0`

`⇒ xy(x² + y²) ≤ 2` với `x,y > 0`