có bao nhiêu số nguyên m để hs y=ln (x^3+mx+2)đồng biến trên nửa khoảng [1; vô cực)

Đáp án: có vô số giá trị nguyên của m thỏa mãn

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ: $x^3+mx+2>0$

Ta có:

$y'=\dfrac{3x^2+m}{x^3+mx+2}$

Để hàm số đồng biến trên $x\in[1,+\infty)$

$\to y'>0, x\in[1,+\infty)$

$\to \dfrac{3x^2+m}{x^3+mx+2}>0$

$\to 3x^2+m>0$

$\to -m<3x^2$

Mà $3x^2\ge 3\cdot 1^2=3,\quad\forall x\in[1,+\infty)$

$\to -m<3$

$\to m>-3$

Lại có:

$x^3+mx+2>0,\quad\forall x\in[1,+\infty)$

$\to x^3+2>-mx$

$\to -m<\dfrac{x^3+2}{x}, \quad x\in[1,+\infty)$

Ta có:

$f(x)=\dfrac{x^3+2}{x}$

$\to f'(x)=\dfrac{2x^3-2}{x^2}\ge 0\quad\forall x\in[1,+\infty)$

$\to f(x)$ đồng biến trên $x\in[1,+\infty)$

$\to f'(x)\ge f(1)=3$

$\to -m<3$

$\to m>-3$