có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hs y=x8+(m-1).x5-(m2-1).x4+1 đạt cực tiểu tại x=0.

Có 2 giá trị nguyên của tham số m để hàm số: y=x8+(m+1)x5−(m2−1)x4+1y=x8+(m+1)x5−(m2−1)x4+1 đạt cực tiểu tại x = 0

Đáp án: có 2 giá trị m

Lời giải: Ta có

y′=8x^7+5(m+1)x^4−4(m^2−1)x^3

y′'=56x^6+20(m+1)x^3−12(m^2−1)x^2

⇒y′=0⇔8x^7+5(m+1)x^4−4(m^2−1)x^3=0

⇔x^3[8x^4+5(m+1)x−4(m^2−1)]=0

TH1: Xét m^2−1=0⇔m=±1

+) Khi m = 1 ta có y′=0⇔x^3(8x^4+10x)=x^4(8x^3+10)⇒x=0

là nghiệm bội 4⇒x=0 không là cực trị của hàm số.

+) Khi m = - 1ta có y′=0⇔x^3.8x^4=0⇔8x^7=0⇔x=0 là nghiệm bội là ⇔x=0 là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa qua điểm x = 0 thì y' đổi dấu từ âm sang dương nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

TH2: Xét m2−1≠0⇔m≠±1

ta có:y′=0⇔x^2[8x^5+5(m+)x^2−4(m^2−1)x]=0

⇔$\left [\ {{x^2=0} \atop {8x^5 + 5(m+1)x^2−4(m^2 −1)x=0 }} \right.$

x^2 =0 ⇔ x=0 là nghiệm bội chẵn không là cực trị của hàm số, do đó cực trị của hàm số ban đầu là nghiệm của phương trình g(x)=8x5+5(m+1)x2−4(m2−1)x=0

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 ⇔ g′(0)>0

Ta có g′(x)=40x^4+10(m+1)x−4(m^2−1)

⇒ g′(0) = −4(m^2−1)>0 ⇔ m^2−1<0 ⇔ −1

Vậy kết hợp 2 trường hợp ta có −1≤m<1

Do m∈Z⇒m∈{−1;0}