Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(x^2 + x + m)^2 trên đoạn [-2;2] bằng 4

Đáp án: $1$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$y=(x^2+x+m)^2$

$\to y=((x+\dfrac12)^2+m-\dfrac14)^2$

Mà $x\in[-2,2]\to -\dfrac32\le x+\dfrac12\le \dfrac52$

$\to 0\le (x+\dfrac12)^2\le \dfrac{25}{4}$

$\to m-\dfrac14\le (x+\dfrac12)^2+m-\dfrac14\le m+6$

Nếu $m-\dfrac14\ge 0\to m\ge \dfrac14$

$\to ( (x+\dfrac12)^2+m-\dfrac14)^2\ge (m-\dfrac14)^2$

$\to Min_y= (m-\dfrac14)^2$

$\to (m-\dfrac14)^2=4\to m\in\{\dfrac94,-\dfrac74\}$

$\to m=\dfrac94$ vì $m\ge \dfrac14$

Nếu $m+6\le 0\to m\le -6$

$\to ( (x+\dfrac12)^2+m-\dfrac14)^2\ge (m+6)^2$

$\to Min_y=(m+6)^2$

$\to (m+6)^2=4\to m=-8$ vì $m\le -6$

Nếu $-6<m<\dfrac14\to (x^2+x+m)^2\ge 0$ (loại)

$\to m\in\{-8,\dfrac94\}$

Vậy có $1$ giá trị nguyên của $m=-8$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=(x^2+x+m)^2$ trên đoạn $[-2,2]$ bằng $4$