cmr : (a+b/2 + c+d/2 )^2 >=(a+c)(b+d)

Giải thích các bước giải:

Ta có: $[(a+c)-(b+d)]^2\geq 0\forall a,b,c,d\in R$ (Bình phương một số luôn lớn hơn hoặc bằng $0$)

$<=>(a+c)^2-2(a+c)(b+d)+(b+d)^2\geq 0$ (Dùng hđt số 2)

$<=>(a+c)^2+(b+d)^2\geq 2(a+c)(b+d)$

$<=>(a+c)^2+2(a+c)(b+d)+(b+d)^2  \geq 2(a+c)(b+d)+2(a+c)(b+d)$

$<=>(a+c+b+d)^2  \geq 4(a+c)(b+d)$ (Dùng hđt số 1)

$<=>[(a+b)+(c+d)]^2  \geq 4(a+c)(b+d)$

$<=>\dfrac{[(a+b)+(c+d)]^2}{4}  \geq (a+c)(b+d)$

$<=>\dfrac{[(a+b)+(c+d)]^2}{2^2}  \geq (a+c)(b+d)$

$<=>[\dfrac{(a+b)+(c+d)}{2}]^2  \geq (a+c)(b+d)$

$<=>(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2})^2  \geq (a+c)(b+d)$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $[(a+c)-(b+d)]^2= 0$

$<=>(a+c)-(b+d)=0$

$<=>a+c=b+d$

Vậy $(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2})^2  \geq (a+c)(b+d)$