chứng tỏ 2n+3/4n+1 là phân số tối giản

`(2xxn+3)/(4xxn+1)`

Gọi `d` là ước nguyên tố chung của `2xxn+3` và `4xxn+1`

`=>{(2xxn+3vdotsd),(4xxn+1vdotsd):}`

Mà:

`2xxn+3vdotsd` và `2inN`

`=>2xx(2xxn+3)vdotsd=>4xxn+6vdotsd`

Mà:

`4xxn+1vdotsd`

`=>(4xxn+6)-(4xxn+1)vdotsd`

`=>dinƯ(5), d` là số nguyên tố

`=>d=5`

Có:

`d=5=>4xxn+1vdots5`

`=>5xxn-n+1vdots5=>5xxn-``(``n-1vdots5``)```

Vì `ninN`

Nên `5xxnvdots5`

`=>n-1vdots5=>n-1=5xxk=>n=5xxk+1` `(kinN)`

Vậy `(2xxn+3)/(4xxn+1)` là phân số tối giản `<=>` `n=5xxk+1`

Gọi ƯCLN (2n+3;4n+1) = d (d ∈ N*)

Ta có:
⇒ $\left \{ {{2n+3\vdots d} \atop {4n+1\vdots d}} \right.$

⇒ $\left \{ {{2.(2n+3)\vdots d} \atop {1.(4n+1)\vdots d}} \right.$ 

⇒ $\left \{ {{4n+6\vdots d} \atop {4n+1\vdots d}} \right.$ 

⇒ (4n+6)-(4n+1) \vdots d

⇒ d = Ư(5) , là số nguyên tố

⇒ d = 5

⇒ ƯCLN (2n+3; 4n+1) = 5 nên d = 5

⇒ $\frac{2n+3}{4n+1}$ là phân số tối giản

Vậy: $\frac{2n+3}{4n+1}$ là phân số tối giản

#dechuong2k10