chứng minh rằng tồn tại duy nhất 1 hàm số vừa chẵn vừa lẻ là y=0

Gọi $f(x)$ là hàm số vừa chẵn vừa lẻ, khi đó, ta có $\begin{cases} f(x) = f(-(-x)) = -f(-x) (do\, hàm\, lẻ)\\ f(-x) = f(-(-x)) = f(-x) \end{cases}$ Công từng vế của hai ptrinh ta có $2f(x) = 0$ <-> $f(x) = 0$ Vậy hàm số $y = 0$ vừa chẵn vừa lẻ. Tính duy nhất: Giả sử tồn tại một hàm g(x) sao cho g(x) cũng vừa chẵn vừa lẻ, khi đó, ta xét $g(x) - f(x)$ với $f(x)$ là hàm vừa tìm đc ở trên. Khi đó $g(x) - f(x) = g(-(-x)) - f(-(-x)) = -g(-x) + f(-x)$ do 2 hàm đều lẻ và $g(x) - f(x) = g(-(-x)) - f(-(-x)) = g(-x) - f(-x)$ do 2 hàm đều chẵn. Cộng từng vế ta có $2(g(x) - f(x)) = 0$ hay $g(x) - f(x) = 0$ <-> $g(x) = f(x)$. Vậy tồn tại duy nhất 1 hàm vừa chẵn vừa lẻ.