chứng minh rằng A=n(n+1)(2n+1) chia hết cho 6 với mọi n thuộc Z

Xét các trường hợp:

+ n là số chẵn

⇒ n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 2

+ n là số lẻ

⇒ n+1 chia hết cho 2

⇒ n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 2

Vậy với mọi điều kiện, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 2 (1)

Xét các trường hợp:

+ n=3k

⇒ n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3

+ n=3k+1

⇒ 2n + 1 = 2.(3k + 1) = 6k + 3 = 3.(2k + 1) chia hết cho 3

⇒ n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3

+ n = 3k + 2 ⇒ n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3.(k + 1)

⇒ n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3

Vậy với mọi điều kiện, n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 2 . 3 = 6

⇒ Điều phải chứng minh