Chứng minh rằng: (a-$\frac{1}{b}$)(b-$\frac{1}{c}$)(c-$\frac{1}{a}$)$\geq$(a-$\frac{1}{a}$)(b- $\frac{1}{b}$)(c-$\frac{1}{c}$) với a,b,c là số dương không nhỏ hơn 1.

BĐT cần chứng minh tương đương :

`(ab-1)/b . (bc-1)/c . (ca-1)/a >= (a^2-1)/a . (b^2-1)/b . (c^2-1)/c`

`<=>((ab-1)(bc-1)(ca-1))/(abc) >= ((a^2-1)(b^2-1)(c^2-1))/(abc)`

`<=>(ab-1)(bc-1)(ca-1)>=(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)`

`<=> (ab^2c - ab - bc+1)(ac-1)>=(a^2b^2-a^2-b^2+1)(c^2-1)`

`<=> a^2b^2c^2 - a^2bc - abc^2+ac - ab^2c +ab+bc-1>= a^2b^2c^2 - a^2c^2-b^2c^2+c^2-a^2b^2+a^2+b^2-1`

`<=>a^2b^2c^2 - (a^2bc + abc^2+ab^2c) +(ab+ac+bc)-1>= a^2b^2c^2 - (a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)+(a^2+b^2+c^2)-1`

`<=> abc(a+b+c)-(ab+bc+ac)\le  (a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)`

`<=>(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\le (a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-abc(a+b+c)`

`<=> 2 (a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)\le 2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-2abc (a+b+c)`

`<=> (a^2-2ab+b^2) + (a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)\le (a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2)+(a^2c^2-2abc^2 + b^2c^2)+(a^2c^2-2a^2bc + a^2b^2)`

`<=>(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\le (ab-bc)^2+(ac-bc)^2+(ac-ab)^2`

`<=>b^2 (a-c)^2-(a-c)^2 + c^2(a-b)^2-(a-b)^2 +a^2(b-c)^2-(b-c)^2>=0`

`<=>(a-c)^2(b^2-1)+(a-b)^2(c^2-1) + (b-c)^2(a^2-1)>=0` (*)

Do `a,b,c>=1`

`-> a^2,b^2,c^2>=1`

`-> b^2-1>= 0,c^2-1>=0,a^2-1>=0`

`->` (*) đúng

Vậy BĐT đc chứng minh.