Chứng minh điều kiện cần và đủ để ABC tam giác đều là $m_a$+$m_b$+$m_c$= $\frac{9}{2}$R

Áp dụng công thức trung tuyến ta được:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m_a^2 = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\\ m_b^2 = \dfrac{{2\left( {{c^2} + {a^2}} \right) - {b^2}}}{4}\\ m_c^2 = \dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4} \end{array} \right.\\  \Rightarrow m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \dfrac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \end{array}$

Áp dụng định lý hàm sin ta được:

$\begin{array}{l}
m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \dfrac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\
 = \dfrac{3}{4}\left[ {{{\left( {2R\sin A} \right)}^2} + {{\left( {2R\sin B} \right)}^2} + {{\left( {2R\sin C} \right)}^2}} \right]\\
 = 3{R^2}\left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \right)
\end{array}$

Cần chứng minh $\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C\le \dfrac 9 4$

$\begin{array}{l} \cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x \Rightarrow {\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\\ S= {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C\\ = \dfrac{{1 - \cos 2A}}{2} + \dfrac{{1 - \cos 2B}}{2} + {\sin ^2}C\\ = 1 - \dfrac{{\cos 2A + \cos 2B}}{2} + \left( {1 - {{\cos }^2}C} \right)\\ = 1 - \dfrac{{2.cos\dfrac{{2A + 2B}}{2}.\cos \dfrac{{2A - 2B}}{2}}}{2} + 1 - {\cos ^2}C\\ = 2 - {\cos ^2}C - \cos \left( {A + B} \right).\cos \left( {A - B} \right)\\ = 2 - {\cos ^2}C - \left( { - \cos \left[ {180^\circ - \left( {A + B} \right]} \right)} \right).\cos \left( {A - B} \right)\\ = 2 - {\cos ^2}C + \cos C.\cos \left( {A - B} \right)\\ - 1 \le \cos \left( {A - B} \right) \le 1\\ TH1:\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \cos C \le 0\\ - 1 \le \cos \left( {A - B} \right) \le 1 \end{array} \right. \Rightarrow \cos C.\cos \left( {A - B} \right) \le - \cos C\\ \Rightarrow S \le 2 - {\cos ^2}C - \cos C = \dfrac{9}{4} - \left( {{{\cos }^2}C + \cos C + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{9}{4} - {\left( {\cos C + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{9}{4}\\ TH2:\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} 0 \le \cos C \le 1\\ - 1 \le \cos \left( {A - B} \right) \le 1 \end{array} \right. \Rightarrow \cos C.\cos \left( {A - B} \right) \le \cos C\\ \Rightarrow S \le 2 - {\cos ^2}C + \cos C = \dfrac{9}{4} - \left( {{{\cos }^2}C - \cos C + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{9}{4} - {\left( {\cos C - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{9}{4} \end{array}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l} m_a^2 + m_b^2 + m_c^2\\  = 3{R^2}\left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \right) \le \dfrac{{27{R^2}}}{4}\\ {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \le 3\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right) = \dfrac{{81{R^2}}}{4}\\  \Rightarrow {m_a} + {m_b} + {m_c} \le \dfrac{{9R}}{2} \end{array}$

Vậy dấu bằng xảy ra. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay tam giác $ABC$ đều.