chứng minh bằng phản chứng định lí sau :nếu a là số nguyên tố thì căn a là số vô tỉ

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Vì \(a\) là số nguyên tố \( \Rightarrow a\) không là số chính phương Giả sử \(\sqrt a \) là số hữu tỉ thì \(\) \(\sqrt a \) viết được dưới dạng \(\sqrt a = \frac{m}{n}\,\,\,\,\left( {m,n \in N,\,\,n \ne 0} \right);\,\,\left( {m,n} \right) = 1\) Vì a không là số chính phương nên \(\frac{m}{n}\) không là số tự nhiên \( \Rightarrow n > 1\) \(\begin{array}{l}\sqrt a = \frac{m}{n} \Rightarrow {m^2} = {n^2}p\\ \Rightarrow {m^2} \vdots {n^2}\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,a\,\,\,\,la\,\,so\,\,tu\,\,nhien} \right)\end{array}\) Gọi p là một ước nguyên tố nào đó của n \( \Rightarrow {m^2} \vdots p \Rightarrow m \vdots p\) \( \Rightarrow p\) là là ước nguyên tố của m và n (trái với \(\left( {m,n} \right) = 1\) ) Do đó \(\sqrt a \) là số vô tỉ.