Chứng minh: a ² + b ² + c ² ≥ ab + ac + bc ∀a,b,c.

Đáp án:

Giải thích các bước giải: a+b+c=0

=>(a+b)²+2(a+b)c+c²=0

<=> a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²=0

<=>a²+b²+c²=-2(ab+bc+ac) -------------------(1)

a⁴+b⁴+c⁴

=(a²)²+(b²)²+(c²)²

={(a²+b²)²-2a²b²}+(c²)²

=(a²+b²)²+(c²)²-2a²b²

={(a²+b²+c²)²-2(a²+b²)c²}-2a²b²

={-2(ab+bc+ac)}²-2a²c²-2b²c²-2a²b² [áp dụng (1)]

=4[(ab+bc)²+2(ab+bc)ac+a²c²]-2a²c²-2b²c²-2a²b²

=4(a²b²+2.ab.bc+b²c²+2a²bc+2abc²+a²c²)-2a²c²-2b²c²-2a²b²

=4a²b²+4b²c²+4a²c²-2a²c²-2b²c²-2a²b²+8a²bc+8ab²c+8abc²

=2a²b²+2b²c²+2a²c²+8abc(a+b+c)

=2(a²b²+b²c²+c²a²)(đpcm)