Chứng minh 5+5^2+5^3+5^4+...+5^2015+5^2016 chia hết cho 31

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Đặt `5+5^2+5^3+5^4+...+5^2015+5^2016 = A`

Ta có :

`A = 5+5^2+5^3+5^4+...+5^2015+5^2016`

`⇔ A = (5 + 5^2 + 5^3) + (5^4 + 5^5 + 5^6) + ... + (5^2014 + 5^2015 + 5^2016)`

`⇔ A = 5(1 + 5 + 5^2) + 5^4(1 + 5 + 5^2) + ... + 5^2014(1 + 5 + 5^2)`

`⇔ A = 5 . 31 + 5^4 . 31 + ... + 5^2014 . 31`

`⇔ A = (5 + 5^4 + ... + 5^2014) . 31`

Vì `31 vdots 31 ⇒ A vdots 31`

`⇒ 5+5^2+5^3+5^4+...+5^2015+5^2016 vdots 31` `(đpcm)`

Đáp án:+Giải thích các bước giải:

Ta có:

`5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + .... + 5^2015 + 5^2016`

`= (5 + 5^2 + 5^3) + (5^4 + 5^5 + 5^6) + ... + (5^2014 + 5^2015 + 5^2016)`

`= 5(1 + 5 + 5^2) + 5^4 (1 + 5 + 5^2) + ... + 5^2014 (1 + 5 + 5^2)`

`= 5(1 + 5 + 25) + 5^4 (1 + 5 + 25) + ... + 5^2014 (1 + 5 + 25)`

`= 5.31 + 5^4 .31 + ... + 5^2014 .31`

`= 31. (5 + 5^4 + ... + 5^2014)`

Vì `31 \vdots 31`

`⇒ 31(5 + 5^4 + ... + 5^2014) \vdots 31`

hay `5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + .... + 5^2015 + 5^2016 \vdots 31` 

Vậy `5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + .... + 5^2015 + 5^2016 \vdots 31`  `(đpcm)`