Cho y=2.$x^{3}$ -3m$x^{2}$ +$m^{2}$ (1) y=2x+$m^{2}$ (2) Tìm m để (1) cắt (2) tại 3 điểm phân biệt A B C sao cho B là trung điểm của AC

Đáp án:

$m=  0$

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số $(1)$ và $(2):$

$\quad 2x^3 - 3mx^2 + m^2 = 2x + m^2$

$\Leftrightarrow 2x^3 - 3mx^2 - 2x = 0\qquad (*)$

$(1)$ cắt $(2)$ tại `3` điểm phân biệt $A, B, C$ sao cho $B$ là trung điểm $AC$

nên hoành độ `3` điểm lập thành `1` cấp số cộng

$\Leftrightarrow (*)$ có `3` nghiệm phân biệt lập thành `1` cấp số cộng

Gọi $x_o$ là hoành độ của $B$

$\Rightarrow x_o - d;\ x_o + d$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $C$ với $d$ là công sai khác $0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\quad (x_o - d) + x_o + (x_o + d) = - \dfrac ba = \dfrac{3m}{2}$

$\Leftrightarrow x_o = \dfrac{m}{2}$

Thay vào $(*)$ ta được:

$\quad 2\cdot \left(\dfrac{m}{2}\right)^3  - 3m\cdot \left(\dfrac{m}{2}\right)^2 -2\cdot \left(\dfrac{m}{2}\right) = 0$

$\Leftrightarrow m^3 - 2m = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 0\\m = -\sqrt2\\m= \sqrt2\end{array}\right.$

Thay $m = 0$ vào $(*)$ ta được:

$x^3 - x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\\x = 0\\x = 1\end{array}\right.$ (lập thành `1` CSC)

Thay $m=  -\sqrt2$ vào $(*)$ ta được:

$2x^3 + 3\sqrt2 x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{-3\sqrt2 - \sqrt{34}}{4}\\x = 0\\x = \dfrac{-3\sqrt2 + \sqrt{34}}{4}\end{array}\right.$ (không lập thành `1` CSC)

Thay $m=  \sqrt2$ vào $(*)$ ta được:

$2x^3 - 3\sqrt2 x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{3\sqrt2 - \sqrt{34}}{4}\\x = 0\\x = \dfrac{3\sqrt2 + \sqrt{34}}{4}\end{array}\right.$ (không lập thành `1` CSC)

Vậy $m=0$